Voordracht van Thijs
Notenboom
Grap met
de gelijke cijfers
12345679 (zonder de 8) maal bijv. 27 geeft 333333333.
Dat berust op 111.111.111 is deelbaar door 9 en het quoti�nt is 12345679.
Bij het maken van
onze kerstbomen voor onze nieuwjaarswensen
moesten we hieraan denken.
Schaakbordprobleem
Een schaakbord van 8 bij 8 kun je eenvoudig
bedekken met 32 dominostenen.
Aan de eindpunten van een diagonaal knippen we wee
vierkantjes weg. Kun je nu het overgebleven gebied met 31 dominostenen
bedekken?
Dit probleem van het schaakbord deed
ons denken aan wat we op de tetrominosite van Casper Verbuyst hadden. Men
probeerde de tetromino's te plaatsen in een rechthoek.
http://mediatheek.thinkquest.nl/~llb351/rh.html
We vonden de bespreking van dit probleem ook op
http://hhofstede.nl/raadsels/oplkaaskubus.htm
Geodetic domes
Er zijn vijf
Platonische lichamen waarvan er drie
regelmatige veelvlakken die alleen uit gelijkzijdige driehoeken opgebouwd
zijn.
Op de poster van de Vlaamse Wiskunde Olympiade van 2005-2006 kan je die
zien.
Een applet kan je vinden op
http://www.walter-fendt.de/m14nl/platonsolids_nl.htm
|
|
|
We hebben deze veelvlakken on de vorm
van dobbelstenen, namelijk ons presentje van de
Kangoeroe-wedstrijd van 2002.
Hiermee is het
spelletje Thodi te spelen.
Als je ook driehoeken toestaat die niet helemaal regelmatig zijn, dan kun je
hele grote veelvlakken maken.
Het is niet moeilijk om te beredeneren dat die geodetic
domes altijd opgebouwd zijn uit een even aantal driehoeken.
Wil je de redenering? Druk dan op de vlieg.
Haren?!
In een plaats zoals Gent lopen zeker twee mensen
rond met hetzelfde aantal haren op hun hoofd. Je kunt dat beredeneren maar
je kunt de mensen voor wie dat geldt helemaal niet aanwijzen. Je kunt alleen
maar beredeneren dat die mensen er moeten zijn!
Je hebt twee gegevens nodig:
- Hoeveel mensen wonen er in Gent?
- Hoeveel haren heeft een mens maximaal op zijn hoofd?
Ik neem aan dat er in Gent meer dan 250.000 mensen wonen en ik weet van mijn
kapper dat een mens niet meer dan ongeveer 200.000 haren op zijn hoofd
heeft.
We doen in gedachten het volgende project. In werkelijkheid is dat project
niet uit te voeren.
We maken 200.001 dozen en nummeren de dozen : 0, 1, 2, 3, � , 115, � ,
127.3345, � , 200.000.
Vervolgens laten we elke inwoner van Gent zijn haren tellen en dat aantal
haren op een kaartje schrijven. We verzamelen dan al die kaartjes. We
krijgen dan meer dan 250.000 kaartjes. Elk kaartje stoppen we dan in de doos
met het nummer dat correspondeert met het aantal haren dat op het kaartje
staat. Omdat we dan meer dan 250.000 kaartjes over 200.001 dozen verdelen
moeten er minstens ��n doos zijn met meer dan ��n kaartje. Die kaartjes zijn
afkomstig van twee mensen met hetzelfde aantal haren op hun hoofd. Klaar!
Essentieel voor de redenering is dat het aantal mensen in Gent groter is dan
het aantal haren dat maximaal op een hoofd groeit.
Dit principe heet het ladenprincipe en wordt in de wiskunde gebruikt
als bewijsmethode. Essentieel is ieder keer dat je een aantal elementen moet
verdelen over een "laden"waarbij het aantal laden kleiner is dan het aantal
elementen.
Een schoolvoorbeeld: als je 20 leerlingen verdeelt over 19 klaslokalen dan
moet er minstens ��n lokaal zijn met twee of meer leerlingen.
![]() |
Men noemt dit ook het duiventil (pidgeon
hole) principe. Als er vijf duiven zijn, maar slecht drie hokjes in
de duiventil, dan zullen er minstens twee duiven een hokje moeten
delen. Wil je daar meer oefeningen op :http://hhofstede.nl/bewijzen/pigeonhole.htm#tabel7 |
Een mooi voorbeeld uit de wiskunde dat je met dit
principe kunt bewijzen is:
Elk oneven getal dat niet op een 5 eindigt (dus alle getallen die op een 1,
een 3, een 7 of een 9 eindigen) heeft in het decimale stelsel een veelvoud
dat alleen met enen te schrijven is.
voorbeeld : veelvoud van 7 :111111
voorbeeld : veelvoud van 37 : 111
Maar ook 12345678987654321 heeft een veelvoud dat alleen uit enen bestaat
1111�.1111 . Maar hoeveel enen dat zijn, dat weet ik niet!