Pygram en gelijkvormigheid

Dit zijn gelijkbenige rechthoekige driehoeken die je met de pygramstukjes kan leggen.
Twee gelijkbenige rechthoekige driehoeken zijn altijd gelijkvormig. Weet je waarom? 

Het potpourri probleem 36 op onze pentominosite gaat over het verdelen van een figuur waarbij een deel opnieuw een figuur is gelijkvormig met het geheel. We probeerden dit met een pygramset.
Bekijken we de pygramstukjes:

We hebben in totaal 18 driehoeken.
We kunnen 1 driehoek bekijken t.o.v. de gelijkbenige rechthoekige driehoek die gevuld wordt met een pygramset (bestaat uit 18 driehoekjes).


We kunnen een figuur gevormd door 2 driehoeken bekijken t.o.v. de gelijkvormige figuur die gevuld wordt met een pygramset (bestaat uit 18 driehoekjes).



De gelijkvormigheidsfactor van het grote vierkant t.o.v. het pygramstukje is 3.
Merk op dat er 9 kleine vierkanten in de oppervlakte van het grote vierkant zitten.


De gelijkvormigheidsfactor van de grote parallellogram t.o.v. het pygramstukje is 3.
Merk op dat er 9 kleine parallellogrammen in de oppervlakte van de grote zitten.

We kunnen een figuur gevormd door 3 driehoeken bekijken t.o.v. de gelijkvormige figuur die gevuld wordt met een pygramset (bestaat uit 18 driehoekjes).We kunnen zo'n figuur niet vinden omdat de oppervlakte van de figuur is 18:3 is 6 maal groter, dus is de gelijkvormigheidsfactor de vierkantswortel 6 en dat kunnen we niet leggen met pygramstukjes.

We kunnen een figuur gevormd door 4 driehoeken bekijken t.o.v. de gelijkvormige figuur die gevuld wordt met een pygramset (bestaat uit 18 driehoekjes).






We kunnen een figuur gevormd door 8 driehoeken bekijken t.o.v. de gelijkvormige figuur die gevuld wordt met een pygramset (bestaat uit 18 driehoekjes).



Opmerking: bij een vierkant kunnen we de rest van het groot vierkant niet meer vullen met pygramstukjes.

We kunnen een figuur gevormd door 9 driehoeken bekijken t.o.v. de gelijkvormige figuur die gevuld wordt met een pygramset (bestaat uit 18 driehoekjes).





En nog een heel mooie:

Je kan nog heel wat vormen vinden.
Heb je er een die we mogen op de site plaatsen mail dan naar o.d.m@fulladsl.be
We kregen een mail van Helmut Postl uit Wenen
"Here are some more shapes where a pattern of 9 triangles is magnified by the factor sqrt(2). The first three are turned over, the one at the right is only rotated, and the last three have a horizontal symmetric axis. The orange top triangle can be placed at the bottom right so to create the mirror image of the shape."


We bekeken ze nog eens afzonderlijk

"Another magification: Take for example the first shape of the bottom row. Turn it (2nd picture) and magnify it (3rd picture) so that the inner pattern becomes the original outer pattern. (First row: a symmetric pattern. Second row: a turned over pattern.) The orange area covers 9 triangles, therefore the yellow area covers 18 triangles, and this corresponds to a whole pygram set. So the task is to fill the yellow part with a pygram set."

"Here are solutions, first the three patterns from your site, then my patterns:"

"Another idea: If we wanted to do another magnification, we get patterns which are to be filled with two pygram sets. There I had the following idea: If we can construct a magnified pygram set with two pygram sets, we can immediately fill all magnified shapes. Unfortunately, this is not possible. Proof: First, the two green pieces can only be placed as indicated (without loss of generality). Next, the two blue pieces can only be placed as indicated. Now we see that at the 1st, 3rd and 4th big piece we need at least one big triangle and 3 small triangles. This leaves at most one big triangle and 3 small triangles to be used for the other big pieces. But the three triangles at the right side can only be filled with big and small triangles, and we would need 3 big or 2 big + 2 small or 1 big + 4 small or 6 small triangles. In any case, we do not have enough triangles anymore. Therefore the big pygram set cannot be built."

"A magnification by 4 however is possible:"